数理科学なんでも掲示板

よろしくお願い致します。 L^+(a,b):={f∈Map((a,b),R∪{±∞});fは定義関数列を持つ} 即ち L^+(a,b):={g∈Map((a,b),R∪{±∞});{{f_n};{f_n}は区間(a,b)での単調増加な単関数列, f_n≦g(有限個の点を除いて),∫[a..b]f_n(x)dx≦M<∞, ∃Zは零集合such that xがZの元でない⇒g(x)∈R,lim[n→∞]f_n(x)=g(x)}≠φ} と定義する。その時, [定理] f_n∈L^+(a,b), {f_n}は単調増加関数列で∫[a..b]f_ndx≦M<∞⇒{f_n}はa.e.で収束する。 [証] {s_n}をf_nの定義関数列とすると ∫[a..b]f_n(x)dx=lim[n→∞]∫[a..b]s_n(x)dx(∵f:(a,b)→R∪{±∞}の区間(a,b)におけるルベーグ積分の定義) と書ける。仮定より,lim[n→∞]∫[a..b]s_n(x)dx≦Mと言え, から先に進めません。どのようにすればいいのでしょうか?

量子統計力学 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 8月15日(金)17時23分34秒

　物理「熱・統計力学」において、第８節で解説した量子統計的エントロピーを使って、量子論の中に熱力学のモデルが構築できることを解説した第９節を追加しました。　通常の統計力学の議論は、熱力学の議論とは独立して行われることが多いですが、そうなっているのは、熱力学の議論でもエントロピーという（ナゾの）状態変数を構築する議論がメインになっていて、一方の統計力学でも、この議論とは独立にエントロピーを定義して議論するので、両理論はいわば同時並行的に議論されていて、一方が他方の基礎理論という形になっていないからです。　これに対し、私のページでは、熱力学の議論では、エントロピーの存在を最初から天下り的に仮定し、エントロピーが満たすべき性質を公理として挙げ、その公理に基づいた議論を行っています（従ってケルビンの原理のような「経験則」も、逆に「定理」として導出されることになります）。　そして、統計力学では、力学の世界に、実際に熱力学の仮定を満たすモデルが作れる、という議論をすることによって、両理論を接合するわけです。　独断かもしれませんが、私はこういう論法の方が本質的だと思っています。そして統計力学の最初の議論は、いきなりラグランジュの未定乗数法でエントロピーを定義するとかいうことではなく、力学や確率論のどういう概念が熱力学の内部エネルギーやエントロピーに対応しているかの議論を先に行うべきだと思っています。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/thermo09.htm

物質中の電磁気力 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 8月10日(日)09時56分1秒

物理の「電磁気学」の第４節の後半部分（式番号で言うと (4-21) 以降）をシンプルな記述に修正しました。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/maxwell04.htm

量子統計的エントロピー 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 8月 4日(月)07時53分6秒

　物理の「熱・統計力学」の第８節に、表題の内容を追加しました（前から作成中で放置していたのを全面修正したものです）。　第７節はまだ未作成ですが、追って追加していく予定です。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/thermo08.htm

(無題) 投稿者：OUHS 投稿日：2008年 7月25日(金)13時53分20秒

ご迷惑をおかけしまして、すみませんでした。最終的には何とか友人たちと話し合い、中途半端なところまででしたがレポート作成して、提出が完了しました。本当にありがとうございました。

(無題) 投稿者：ＯＵＨＳ 投稿日：2008年 7月22日(火)13時33分47秒

Stromdorfさん、ありがとうございます。おかげさまで、問題２はようやく解決することができました。ありがとうございました。ほかの問題は説明不足で申し訳ございません・・・問題１は、Ｓは和因子を（この問題では和因子が１と２と３です）、ｄはその和因子を何回まで使えるかを、Ｐ（ｎ）はｎをその条件のもとに分割する方法の数を表しています。問題文はここまでしか書かれていません。問題３は、ノートのもう少し前から書くと、　Ｐ（ｎ）＝Ｐ（ｎ－１）＋Ｐ（ｎ｜最小の和因子が２以上）　　・・・・☆ 　　　　　　　　　　　∧|| Ｐ（ｎ－２）＝Ｐ（ｎ｜少なくとも１つの和因子は２に等しい）　・・・・☆ Ｐ（ｎ｜少なくとも１つの和因子は２に等しい）≦Ｐ（ｎ｜最小の和因子が２以上）を使うとＰ（ｎ）≦Ｐ（ｎ－１）＋Ｐ（ｎ－２）たぶんＰ（n｜少なくとも１つの和因子は２に等しい）≦Ｐ（n｜最小の和因子が２以上）なのではないか。これを示すには、「最小の和因子が２以上」から「少なくとも１つの和因子は２に等しい」を作るテクニックを見つければよい。それを見つける。それから、☆をつけた行の｛Ｐ（ｎ－１）＋Ｐ（ｎ｜最小の和因子が２以上）｝と、｛Ｐ（ｎ－２）｝には何か関係があるらしいです。これでもわかりにくいかもしれませんが、すみませんがよろしくお願いします。

OUHSさんへ 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 7月22日(火)07時18分53秒

訪問ありがとうございます。ところで問題１と問題３は、これだけでは意味がわかりません。もう少し説明していただいた方がよいと思いますが。ちなみに問題２は、石ころをｎ個、少し間隔をあけて並べ、次にこれらの間に棒をｋ－１本自由に置くすべてのおき方はk+n-1Ｃnとおりですが、この配列に対して、今度は棒を仕切り棒だと思って、左から順に１番目の人の分、２番目の人の分、…だと思えば、これはｋ人の人に石ころを分配するすべての仕方を尽くしています。

助けてください・・・ 投稿者：OUHS 投稿日：2008年 7月21日(月)14時55分7秒

はじめまして、大阪にある大学の一回生の者です。今、数学の課題を出されているのですが、数週間悩んでも全く分かりません・・・　　ぜひ、解法を教えてください！！＜問題１＞　　（たぶん母関数関係の問題だと思います。）Ｓ＝｛１，２，３｝　ｄ＝２　（１，２，３を２回まで使える）　　のときのＰ（ｎ）を求めよ。＜問題２＞　　（分配の問題です）同じものｎ個をｋ人の人に分ける方法の数。ただし受け取らない人がいてもよい。 kＨn＝（k+n-1）＝k+n-1Ｃn 　　　（　n　）となるのはなぜか？＜問題３＞　　（整数の分割とかフィボナッチ数とか帰納法とかフェラーズグラフとかの関係の問題だと思います）たぶんＰ（n｜少なくとも１つの和因子は２に等しい）≦Ｐ（n｜最小の和因子が２以上）なのではないか。これを示すには「最小の･･･」→「少なくとも･･･」を作るテクニックを見つければよい。それを見つけろ。という３つの問題で悩んでいます。分かりにくい書き方で大変申し訳ございませんが、よろしくお願いします。

サイトの修正 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 7月17日(木)01時42分31秒

物理の「熱・統計力学」に新たに「状態方程式」「平衡状態と相転移」についての解説を、第３節及び第４節として追加しました。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/thermo04.htm

お礼投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 7月 9日(水)07時56分47秒

ひよこ数学愛好者様、どうもありがとうございます。 10万ヒットは自分で気付いていませんでした。最近更新していませんが、今後ともよろしくお願いします。

(無題) 投稿者：ひよこ数学愛好者 投稿日：2008年 7月 8日(火)22時33分3秒

十万hitsおめでとう御座います。益々の内容の発展に期待していますので、これからもずっと応援させてください。数学の面白さを教えて下さったStromdorfさんに感謝です。

LINKの追加 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 6月25日(水)06時34分57秒

数理科学のLINKページに「物理のぺーじ♥」さんを追加しました。内容は本格的です。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/sci_link.htm

化学結合 投稿者：zann 投稿日：2008年 6月18日(水)18時59分50秒

Pb+SO4の2-（鉛＋硫酸化物イオン）が反応してPbSO4になるのですか？反応する理由がよくわかりません。イオン結合なら＋とーって引き合うからわかるんですけど、これはどういう訳なんでしょうか？

サイトの修正 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 6月 8日(日)06時44分42秒

「熱・統計力学」第２節において、Maxwellの関係式 (2-27) の符号が一部間違っていたので訂正しました。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/thermo02.htm

δ-ε論法 投稿者：にっちゃん 投稿日：2008年 5月18日(日)11時50分38秒

f(x)=x^2がx=1で連続になることをδ-ε論法でどうやったら証明できますか？

Webページの修正 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 5月 8日(木)07時09分2秒

「数学の基礎」第５節で、冪集合の定義に一部循環論法になっている箇所があったので修正しました。

http://home.p07.itscom.net/strmdrf/basic05.htm

(無題) 投稿者：mmm 投稿日：2008年 3月29日(土)01時50分58秒

度々スイマセン。下記の問題の正解は0.831;12.8となっています。

(無題) 投稿者：mmm 投稿日：2008年 3月28日(金)01時58分0秒

識者の皆様宜しくお願い致します。 [Q] If X is χ^2(5),determine the constants c and d so that P(c<X<d)=0.95 and P(X<c)=0.025. [問]もし,Xが(カイ→)χ^2(5)ならP(c<X<d)=0.95とP(X<c)=0.025となるように定数cとdを決定せよ。という問題なのですがどのようにして解けばいいのでしょうか?どうかご教示ください。

置換公理の根拠 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 3月22日(土)16時36分4秒

　　編集済

　今度は「可算選択公理の根拠」に引き続いて「置換公理の根拠」について閃きました。これも突然ひらめいただけなので妄想の可能性があります（笑）。　その根拠というのは、再帰的集合論の再帰的集合論を考えることによって置換公理（というより実はそれより若干強い公理）モドキとして、任意の τ' 項 a に対して (*) ∀_τ' x∈a ∃_τ' y R(x,y) ⇒ ∃_τ" b ∀_τ" x∈"a ∃_τ" y∈"b R"(x,y) が成り立つ、というものです。これは、⇒ の左辺が成り立ったところで再帰的集合論の再帰的集合論を取ると、右辺が成り立つ、という形になっていますが、a∈"b ≡ a∈b ∨ a∈'b と置き、Set"≡Set∨Set' と書いて、τ'≡τ∨Set と τ"≡τ'∨Set' から τ" ⇔ τ∨Set" に注意すれば、(*) の左辺までの証明文の中のすべての命題の ' を一斉に " に書き換えるとやはり証明文になるので、この(*) の前後で上記の推論が置換公理になるわけです。　まあ、何のこっちゃかわからないと思いますが、これは単なる自分用のメモですから、正式にはblogでいつか解説したいと思っています。 P.S. 例によって途中で妄想であると発覚したらお笑いですが、まあそのときはそのときということで。

今度は追加 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 3月22日(土)09時52分19秒

　　編集済

「数学の基礎」第５節の、「冪理論」の解説のところで、一般に１変項述語記号 σ があるとき、どういう場合だったら「理論 σ」という言い方をすることが許されるのかについて説明が無かったので、これに関する説明として、以下の段落を追加しました： ----------------------------------------------------------------------- 　さて、上記のようにしてもとの理論を拡大して得られた理論は、「既存の理論 τ の τ 項あるいは新たに理論に付け加えようとしている対象を表わす項」に関する理論です。そして、ここで新たに導入された１変項述語記号 τ^P は、そのような項（の一部）であることを意味する述語であり、前節で解説した存在述語記号の名でよばれる権利を持っているといえます。　そこで、今後はこのように新たな存在述語記号 σ の追加とともに拡大された理論のことも理論 σ とよび、σ(T) を満たす項 T のことも σ 項とよぶことにしましょう。 ----------------------------------------------------------------------- （3月23日追記：上記の修正に更に手を入れて ----------------------------------------------------------------------- 　さて、上記の理論拡大において、τ^P(A) というのは、項 A が「冪項」という“実体を持った項”であることを意味しています。つまり１変項述語記号 τ^P は、もとの理論における存在述語記号 τ とは別の、新たな存在述語記号とみなすことができます。　そこで、今後はこのように新たな存在述語記号 σ の追加とともに拡大された理論のことも理論 σ とよび、σ(T) を満たす項 T のことも σ 項とよぶことにしましょう。 ----------------------------------------------------------------------- のように修正しました）　その趣旨は、「１変項述語記号 σ があれば何でも『理論 σ』とよんでいいんだ」ということにはならない、ということです。　実際、このようなことを一般的に許すと、パラドクスが生じてしまいます。なぜなら、 τ(T) ≡ ￢⊥ と定義すると、∀x τ(x) が成り立ちますが、このような“理論 τ”上に冪理論を構築すると、Ω ≡ { x | ￢x∈x } についてはラッセルのパラドクスの論法により￢τ(Ω) が導かれますが、他方で ∀x τ(x) により τ(Ω) が得られますから、見事にラッセルのパラドクスが再現されて矛盾します。　要するに、「理論 τ」とよぶことができるような１変項述語 τ というのは、「将来導入されるであろう項までが τ 項になってしまう」ようなものであってはダメで、“それを満たす項が、既に定義された項の範囲に限定されている”必要があるのです。

Websiteの修正 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 3月20日(木)15時18分8秒

「数学の基礎」第５節で、再帰的集合論の公理に「推移性公理」を追加して公理系全体を書き直しました。　通常の ZF では置換公理を用いて任意の a に対して a を元に持つ推移的集合が存在することが証明できるのですが、再帰的集合論には置換公理が無いので証明できません。　しかし、推移性公理は形式化の原理によって正当化されるので公理に付け加えたわけです。この公理を用いると、クラス概念を用いずに、再帰的集合論の中に選択公理を犠牲にして（ただし可算選択公理は成り立つ）外延性公理を満たす集合論のモデルを作ることが可能になります。

念のため 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 3月15日(土)20時54分50秒

　　編集済

　この掲示板は、公序良俗に反しない限り何を書いてもどうぞご自由に、というのが基本的スタンスです。（ただしあまりにも有名なトンデモの場合、こちら↓に誘導することはあります。） http://8110.teacup.com/stromdorf/bbs 　さて、一般に宿題を掲示板で質問するというのはよくある話ですが、「自分で調べることに意義があるのだから、すぐに答を教えてしまうのは本人のためにならないので、あえて答を返さない」という立場をモットーにする人も多いですし、逆に「困り果てて掲示板で質問している人には答あるいはヒントくらい返した方がいい」という人もいます。　私はテキトーな人間なので、あまりスタンスを明確にしていません。そのときの気分で対応していることが多いです。　それから、返事をする人の中にも、正解をちゃんとわかっていて的確な答を返す人もいますし、間違った答を返す人もいます。　間違いはわざとするものでもないし、間違った返事を書く人を一概に非難するのもかわいそうな面があります。また、管理人としても、いちいち人の答があっているか確認するのがメンドーなことも多いです（特に自分が得意な分野でない場合）。　ですから、質問する人も、返ってきた答が正しいのかどうか、自分で判断した方が無難だ、ということになります。正解を見つけることができなくても、人の答が正しいかどうか判断する、あるいは判断できなければ更に質問する、くらいの努力はする、という覚悟がないと、インターネットで質問しても期待した効果は得られないと思います。　以上の点を踏まえた上で、この掲示板を上手に利用してください。

miyokiさんへ。 投稿者：朝永振一郎 投稿日：2008年 3月14日(金)17時09分2秒

A) 質量割合３０パーセントなら、１０００ｇで、３００ｇだけ、硝酸がある。その密度が１立方センチで１．２ｇとは、３００（ｇ）／１．２（ｇ／ｃｍ＾３）＝２５０（ｃｍ＾３）の’かさ’があることです。では、１０００ｇのうち、’かさ’が２５０（ｃｍ＾３）しめているのだから、濃度としては…？こりゃ変な回答かな？？？Ｂ）この硝酸１００ｍｌ中には、１０（ｃｍ＾３）×１．２（ｇ／ｃｍ＾３）＝１２ｇの硝酸がるのですから、１２ｇの硝酸で、２０パーセントの濃度にするには、（１００（ｍｌ）＋Ｘ（ｍｌ）） ×０．２＝１２ｇのＸを解くのかな？？？気弱な（頭も弱い）朝永でした。

科学で分からないところがあるんです・・・。 投稿者：miyoki 投稿日：2008年 3月13日(木)22時16分39秒

A）質量パーセント濃度が30％、密度が1.2g/cm³の硝酸モル濃度はいくらか。　　H=1.0、N=14、O=16 B)　A)の硝酸を薄めて濃度20％の硝酸をつくるには、この硝酸100mlを水（密度1.0g/cm³）何mlに加えればよいか。計算の仕方が分かりません。出来るだけわかりやすく教えてください。少し急いでいるのでなるべく早くお願いします。よろしくお願いします!!

Banach-Tarskiに関するメモ 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 3月12日(水)08時43分39秒

　　編集済

http://www.ms.uky.edu/~lee/banach.pdf http://antimeta.wordpress.com/2006/10/01/banach-tarski-the-axiom-of-choice-and-notions-of-size/

最近の物理学って… 投稿者：朝永振一郎 投稿日：2008年 3月10日(月)17時02分54秒

どんなんですかね…。 Heisenbrg-Diracみたいな思想性を感じないのですが…。何だか幾何学偏重みたいな気がします。ブレインなんて、本当にあんなに絵に描いたようなものでいいのでしょうか？？？数学的にバッチリでも、「物理の中身」をもっと言葉にして欲しいです…。

Re:mmmさんへ 投稿者：mmm 投稿日：2008年 3月10日(月)11時25分18秒

>Lebesgue積分の知識があれば１行で終わりですね。う゛っ。Lebesgue積分無しではどのようにすればよろしいのでしょうか?

mmmさんへ 投稿者：Stromdorf(管理人) 投稿日：2008年 3月 9日(日)20時41分28秒

Lebesgue積分の知識があれば１行で終わりですね。

fを[0,1]で連続な関数とする。lim[n→∞]∫[0～1]f(x^n)dx=f(0)を示せ 投稿者：mmm 投稿日：2008年 3月 9日(日)08時47分56秒

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